Orthonormalbasis

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von JakobD, 22. Juni 2015.

  1. JakobD

    JakobD Neues Mitglied Student B.Sc. Bachelor of Science

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    Hallo hab gerade Probleme mit einer Aufgabe.

    Aufgabe: Ergänzen sie die Orthonormalbasis IMG_6395.jpg zu einer positiven Orthonormalbasis.

    Wie mach ich das?

    Liebe Grüße JakobD
     
  2. MathJoe

    MathJoe Neues Mitglied Student B.Sc.

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    Hi Jakob,

    an der Aufgabe sind wir auch lange gehangen.
    Wir haben zu $b_1$, $b_2$ und $b_3$ einen linear unabhängigen Vektor gesucht z.B. [1;0;0;0] und entsprechend die Matrix aufgestellt:
    $$B=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&0&\frac{-1}{2}&1\\0&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&0\\\frac{\sqrt{2}}{2}&0&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&0\end{bmatrix} $$

    Um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen haben wir die Matrix ganz normal über Gauß umgeformt:
    $$ \begin{bmatrix}1&0&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\sqrt{2}\\0&1&\frac{-\sqrt{2}}{2}&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{bmatrix} $$

    Die Unabhängigkeit stimmt also.

    Dann haben wir für diese 4 Vektoren wieder das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren durchgeführt.
    In Kurzfassung:

    $$ \begin{aligned}f_1&=b_1\\
    f_2^*&=b_2-(\langle b_2,f_1 \rangle \cdot f_1)=f_2=b_2\\
    f_3^*&=b_3-(\langle b_3,f_1 \rangle \cdot f_1+\langle b_3,f_2 \rangle \cdot f_2)=f_3=b_3\\
    f_4^*&=b_4-(\langle b_4,f_1 \rangle \cdot f_1+\langle b_4,f_2 \rangle \cdot f_2+\langle b_4,f_3 \rangle \cdot f_3)=[\frac{1}{4};\frac{1}{4};-\frac{1}{4};\frac{1}{4}] \end{aligned}
    $$


    Aus $f_4^*$ folgt dann durch Normierung $f_4= \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{bmatrix} $

    Insgesamt haben wir also eine Orthonormalbasis für R4

    $$B_{neu}=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix} $$


    Wir müssen jetzt ja noch überprüfen, ob wir überhaupt ein Rechtssystem haben ($det(B_{neu})$ muss dabei =1 sein).
    Das können wir mit der Determinante machen:

    $$det(B_{neu})=-1 \rightarrow \text{kein Rechtssystem}$$


    Um ein Rechtssystem zu erhalten haben wir dann einfach unseren letzten Vektor $f4$ umgedreht:

    $$B_{neu}^{posONB}=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&0&\frac{-1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix} $$


    Dann nochmal die Determinante ausrechnen:

    $$det(B_{neu}^{posONB})=1 \rightarrow \text{Rechtssystem}$$
    :cool:

    War insgesamt stark zusammengefasst (ich habe fast 3 Seiten gerechnet), aber der Verlauf ist hoffentlich klar geworden.

    Max
     
    Zuletzt bearbeitet: 24. Juni 2015
: ONB

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